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一道线性代数试题证明:任何一个秩为M的矩阵,必能表示成M个秩为1的矩阵之和

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2020/02/23 16:32:20
一道线性代数试题
证明:任何一个秩为M的矩阵,必能表示成M个秩为1的矩阵之和
秩为M,说明有M列线性无关,其它列可以用这M列线性表示.设这M列为A(1),A(2),...,A(M),其它的列设为B(1),B(2),...,B(N),这里数字并不代表列的次序,只是为了叙述方便.设
B(1)=k11·A(1)+k12·A(2)+...+k1M·A(M)
B(2)=k21·A(1)+k22·A(2)+...+k2M·A(M)
.
B(N)=kN1·A(1)+kN2·A(2)+...+kNM·A(M)
上面的k11,k12,...,kNM等就是一个数,不是乘积的意思,后面的k1i,k2i,kNi等也表示一个数.
秩为1的矩阵这样构造:A(i)列不动,A的其它列全部置为0,B(1)列所在位置的数按A(i)列的数乘以k1i倍,B(2)列所在位置的数按A(i)列的数乘以k2i倍,...,B(N)列所在位置的数按A(i)列的数乘以kNi倍,这样矩阵就构造出来了,这个矩阵的秩显然为1,因为其它列要么是0,要么是A(i)的倍数.i从1到M,就构造出M个矩阵.这M个矩阵的和显然等于原矩阵.