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(2013•枣庄一模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=EF=

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2021/10/22 20:46:17
(2013•枣庄一模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=EF=2. 
(1)若G为BC的中点,求证:FG∥平面BDE;
(2)求证:AF⊥平面FBC.
(1)设直线AC、BD相交于点O,连结OE、OG,
∵矩形ABCD中,O是AC的中点,G为BC的中点
∴OG是△ABC的中位线,可得OG=
1
2AB且OG∥AB
又∵EF∥AB,且EF=
1
2AB,
∴EF∥OG且EF=OG,可得四边形EFGO是平行四边形
由此可得FG∥EO
∵FG⊈平面BDE,OE⊂平面BDE,
∴FG∥平面BDE;
(2)∵EA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴EA⊥BC
又∵BC⊥AB,AB∩EA=A,∴BC⊥平面ABEF
∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥BC
∵直角梯形AEFB中,AB=4,AE=EF=2
∴AF=BF=2
2,可得AF2+BF2=16=AB2
∴△ABF是以AB为斜边的直角三角形,可得AF⊥BF
∵BF、BC是平面FBC内的相交直线
AF⊥平面FBC.